Этапы:
-
Региональный этап
(1 задача)
Заключительный этап
(22 задачи)
Фильтр
Задачи
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]
Окружность с центром I касается сторон AB , BC , AC неравнобедренного треугольника ABC в точках C1 , A1 , B1 соответственно.
Окружности ωB и ωC вписаны в четырехугольники BA1IC1 и CA1IB1 соответственно. Докажите, что общая внутренняя
касательная к ωB и ωC , отличная от IA1 , проходит через точку A .
Последовательность a1,a2,.. такова, что a1
(1,2) и ak+1=ak+
при любом натуральном k .
Докажите, что в ней не может существовать более одной пары членов с целой суммой.
В треугольной пирамиде ABCD все плоские углы при вершинах — не прямые, а точки пересечения высот в треугольниках ABC , ABD , ACD
лежат на одной прямой. Докажите, что центр описанной сферы пирамиды лежит в плоскости, проходящей через середины ребер AB , AC , AD .
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]
Задача 115410 (#06.4.10.7) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 115411 (#06.4.10.8) |
|
|
Даны натуральные числа x и y из отрезка [2, 100]. Докажите, что при некотором натуральном n число x2n + y2n – составное.
|
|
|
Решение |
Задача 115396 (#06.4.11.1) |
|
|
В стране некоторые пары городов соединены дорогами, которые не пересекаются вне городов. В каждом городе установлена табличка, на которой указана минимальная длина маршрута, выходящего из этого города и проходящего по всем остальным городам страны (маршрут может проходить по некоторым городам больше одного раза и не обязан возвращаться в исходный город). Докажите, что любые два числа на табличках отличаются не более чем в полтора раза.
|
|
|
Решение |
Задача 115397 (#06.4.11.2) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 115398 (#06.4.11.3) |
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]
