Страница: 1
2 >> [Всего задач: 8]
Задача
116755
(#9.1)
|
|
Сложность: 3
Классы: 9,10
|
Пусть a1, ..., a11 –
различные натуральные числа, не меньшие 2, сумма которых равна 407.
Может ли сумма остатков от деления некоторого натурального числа n на 22 числа a1, ..., a11, 4a1, 4a2, ..., 4a11 равняться 2012?
Задача
116756
(#9.2)
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10
|
На окружности отмечены 2012 точек, делящих её на равные дуги. Из них выбрали k точек и построили выпуклый k-угольник с вершинами
в выбранных точках. При каком наибольшем k могло оказаться, что у этого многоугольника нет параллельных сторон?
Задача
116757
(#9.3)
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10
|
Дан параллелограмм ABCD с тупым углом A. Точка H – основание перпендикуляра, опущенного из точки A на BC. Продолжение медианы CM треугольника ABC пересекает описанную около него окружность в точке K. Докажите, что точки K, H, C и D лежат на одной окружности.
Задача
116758
(#9.4)
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10
|
Положительные действительные числа a1, ..., an и k таковы, что a1 + ... + an = 3k,
и 
.
Докажите, что какие-то два из чисел a1, ..., an отличаются больше чем на 1.
Задача
116759
(#9.5)
|
|
Сложность: 3
Классы: 9,10
|
По кругу стоит 101 мудрец. Каждый из них либо считает, что Земля вращается вокруг Юпитера, либо считает, что Юпитер вращается вокруг Земли. Один раз
в минуту все мудрецы одновременно оглашают свои мнения. Сразу после этого каждый мудрец, оба соседа которого думают иначе, чем он, меняет своё мнение, а остальные – не меняют. Докажите, что через некоторое время мнения перестанут меняться.
Страница: 1
2 >> [Всего задач: 8]
Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Всероссийская олимпиада по математике
>>
2011-2012
>>
Заключительный этап
>>
9 класс
