Страница:
<< 167 168 169 170
171 172 173 >> [Всего задач: 1255]
Задача
61133
(#07.069)
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
Пусть z1, z2, ..., zn – вершины выпуклого многоугольника. Найдите геометрическое место точек
z = λ1z1 + λ2z2 + ... + λnzn,
где λ1, λ2, ..., λn – такие действительные положительные числа, что λ1 + λ2 + ... + λn = 1.
Задача
61134
(#07.070)
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Докажите, что корни уравнения 
где a, b, c – попарно различные комплексные числа, лежат внутри треугольника с вершинами в точках a, b, c, или на его сторонах (в случае вырожденного треугольника).
Задача
61135
(#07.071)
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Пусть f(x) = (x – a)(x – b)(x – c) – многочлен третьей степени с комплексными корнями a, b, c.
Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри треугольника с вершинами в точках a, b, c.
Задача
61136
(#07.072)
[Теорема Гаусса-Люка]
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Пусть f(x) – многочлен степени n с корнями α1, ..., αn. Определим многоугольник M как выпуклую оболочку точек α1, ..., αn на комплексной плоскости. Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри многоугольника M.
Задача
61137
(#07.073)
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
При каких n
а) многочлен x2n + xn + 1 делится на x² + x + 1?
б) многочлен x2n – xn + 1 делится на x² – x + 1?
Страница:
<< 167 168 169 170
171 172 173 >> [Всего задач: 1255]
Фильтр
