Страница: << 91 92 93 94 95 96 97 >> [Всего задач: 1703]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66178

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Четность и нечетность ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

В таблицу 2006×2006 вписаны числа 1, 2, 3, ..., 2006².
Докажите, что найдутся такие два числа в клетках с общей стороной или вершиной, что их сумма кратна 4.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66179

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ] [ Геометрическая прогрессия ] [ Обыкновенные дроби ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Даны две бесконечные прогрессии: арифметическая a₁, a₂, a₃, ... и геометрическая b₁, b₂, b₃, ..., причём все числа, которые встречаются среди членов геометрической прогрессии, встречаются также и среди членов арифметической прогрессии. Докажите, что знаменатель геометрической прогрессии – целое число.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66180

Темы:   [ Куб ] [ Правильные многогранники. Двойственность и взаимосвязи ] [ Расстояние между двумя точками. Уравнение сферы ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Можно ли вписать октаэдр в куб так, чтобы вершины октаэдра находились на рёбрах куба?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66181

Темы:   [ Пятиугольники ] [ Правильные многоугольники ] [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Пять отрезков провели (не отрывая карандаша от бумаги) так, что получилась пятиугольная звезда, разделённая проведёнными отрезками на пять треугольников и пятиугольник. Оказалось, что все пять треугольников равны. Обязательно ли пятиугольник правильный?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66182

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Обратный ход ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

На доске написаны два 2007-значных числа. Известно, что из обоих чисел можно вычеркнуть по семь цифр так, чтобы получились одинаковые числа. Докажите, что в исходные числа можно вписать по семь цифр так, чтобы тоже получились одинаковые числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 91 92 93 94 95 96 97 >> [Всего задач: 1703]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями