Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]

Задача 109825 (#05.5.10.3)

Темы:	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Богданов И.И.

На оборотных сторонах 2005 карточек написаны различные числа (на каждой по одному). За один вопрос разрешается указать на любые три карточки и узнать множество чисел, написанных на них. За какое наименьшее число вопросов можно узнать, какие числа записаны на каждой карточке?

Прислать комментарий Решение

Задача 109826 (#05.5.10.4)

Темы:	[	Вневписанные окружности	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Периметр треугольника	]
	[	Окружность, вписанная в угол	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Кожевников П.А.

Окружности σ_B, σ_C – вневписанные для треугольника ABC (касаются соответственно сторон AC и AB и продолжений двух других сторон). Окружность ω_B симметрична σ_B относительно середины стороны AC, окружность ω_C симметрична σ_C относительно середины стороны AB. Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения окружностей ω_B и ω_C, делит периметр треугольника ABC пополам.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109827 (#05.5.10.5)

Темы:	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10

Автор: Куликов Е.Ю.

В некоторые 16 клеток доски 8×8 поставили по ладье. Какое наименьшее количество пар бьющих друг друга ладей могло при этом оказаться?

Прислать комментарий

Решение

Задача 108225 (#05.5.10.6)

Темы:	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Автор: Акопян А.В.

В остроугольном треугольнике проведены высоты AA' и BB'. На дуге ACB описанной окружности треугольника ABC выбрана точка D. Пусть прямые AA' и BD пересекаются в точке P, а прямые BB' и AD пересекаются в точке Q. Докажите, что прямая A'B' проходит через середину отрезка PQ.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109828 (#05.5.10.7)

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Разложение на множители	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Деление с остатком	]

Сложность: 5-
Классы: 7,8,9,10

Автор: Сендеров В.А.

Натуральные числа x и y таковы, что 2x² – 1 = y¹⁵. Докажите, что если x > 1, то x делится на 5.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]