Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]

Задача 111689 (#1)

Темы:	[	Разрезания на параллелограммы	]
	[	Перегруппировка площадей	]
	[	Монотонность и ограниченность	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Чеканов Ю.В.

Квадратная доска разделена семью прямыми, параллельными одной стороне доски, и семью прямыми, параллельными другой стороне доски, на 64 прямоугольные клетки, которые покрашены в белый и чёрный цвета в шахматном порядке. Расстояния между соседними прямыми не обязательно одинаковы, поэтому клетки могут быть разных размеров. Известно, однако, что отношение площади каждой белой клетки к площади любой чёрной клетки не больше 2. Найдите наибольшее возможное отношение суммарной площади белых клеток к суммарной площади чёрных.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111690 (#2)

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Замощения костями домино и плитками	]
	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Наглядная геометрия в пространстве	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Богданов И.И.

Пространство разбито на одинаковые кубики. Верно ли, что для каждого из этих кубиков обязательно найдётся другой, имеющий с ним общую грань?

Прислать комментарий

Решение

Задача 111691 (#3)

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Шаповалов А.В.

На столе лежат N > 2 кучек по одному ореху в каждой. Двое ходят по очереди. За ход нужно выбрать две кучки, где числа орехов взаимно просты, и объединить эти кучки в одну. Выиграет тот, кто сделает последний ход. Для каждого N выясните, кто из играющих может всегда выигрывать, как бы ни играл его противник.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111692 (#4)

Темы:	[	Трапеции (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Богданов И.И.

Дана неравнобокая трапеция ABCD. Точка A₁ – это точка пересечения описанной окружности треугольника BCD с прямой AC,
отличная от C. Аналогично определяются точки B₁, C₁, D₁. Докажите, что A₁B₁C₁D₁ – тоже трапеция.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111688 (#5)

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Соображения непрерывности	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

В бесконечной последовательности a₁, a₂, a₃, ... число a₁ равно 1, а каждое следующее число a_n строится из предыдущего a_n–1 по правилу: если у числа n наибольший нечётный делитель имеет остаток 1 от деления на 4, то a_n = a_n–1 + 1, если же остаток равен 3, то a_n = a_n–1 – 1. Докажите, что в этой последовательности
а) число 1 встречается бесконечно много раз;
б) каждое натуральное число встречается бесконечно много раз.
(Вот первые члены этой последовательности: 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, ...)

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]