Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]

Задача 64364 (#11.6)

Тема:

[

Неравенство Коши

]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Храбров А.

Положительные числа a, b, c и d удовлетворяют условию 2(a + b + c + d) ≥ abcd. Докажите, что a² + b² + c² + d² ≥ abcd.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116937 (#9.7)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ)	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Радикальная ось	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Емельянов Л.А.

Серединный перпендикуляр к стороне AC неравнобедренного остроугольного треугольника ABC пересекает прямые AB и BC в точках B₁ и B₂ соответственно, а серединный перпендикуляр к стороне AB пересекает прямые AC и BC в точках C₁ и C₂ соответственно. Описанные окружности треугольников BB₁B₂ и CC₁C₂ пересекаются в точках P и Q. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC лежит на прямой PQ.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116945 (#10.7)

Темы:	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
	[	Радикальная ось	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Емельянов Л.А.

К двум непересекающимся окружностям ω₁ и ω₂ проведены три общие касательные – две внешние, a и b, и одна внутренняя, c. Прямые a, b и c касаются окружности ω₁ в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно, а окружности ω₂ – в точках A₂, B₂ и C₂ соответственно. Докажите, что отношение площадей треугольников A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ равно отношению радиусов окружностей ω₁ и ω₂.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116953 (#11.7)

Темы:	[	Разложение на множители	]
Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Голованов А.С.

Найдите все такие натуральные k, что при каждом нечётном n > 100 число 20ⁿ + 13ⁿ делится на k.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64350 (#9.7)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Поворотная гомотетия (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Богданов И.И.

На сторонах остроугольного треугольника ABC вне него построены квадраты CAKL и CBMN. Прямая CN пересекает отрезок AK в точке X, а прямая CL пересекает отрезок BM в точке Y. Точка P, лежащая внутри треугольника ABC, является точкой пересечения описанных окружностей треугольников KXN и LYM. Точка S – середина отрезка AB. Докажите, что ∠ACS = ∠BCP.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]