Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 1956]

Задача 53871 (#01.055)

Темы:	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]
Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

На сторонах остроугольного треугольника ABC взяты точки A₁, B₁, C₁ так, что отрезки AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в точке H.
Докажите, что AH·A₁H = BH·B₁H = CH·C₁H тогда и только тогда, когда H – точка пересечения высот треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56512 (#01.056)

Темы:	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

а) Докажите, что высоты AA₁, BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC делят углы треугольника A₁B₁C₁ пополам.
б) На сторонах AB, BC и CA остроугольного треугольника ABC взяты точки C₁, A₁ и B₁ соответственно.
Докажите, что если ∠B₁A₁C = ∠BA₁C₁, ∠A₁B₁C = ∠AB₁C₁ и ∠A₁C₁B = ∠AC₁B₁, то точки A₁, B₁ и C₁ являются основаниями высот треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56513 (#01.057)

Темы:	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]
Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁.
Докажите, что точка, симметричная A₁ относительно прямой AC, лежит на прямой B₁C₁.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56514 (#01.058)

Темы:	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]
Темы:	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁. Докажите, что если A₁B₁ || AB и B₁C₁ || BC, то A₁C₁ || AC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56515 (#01.059)

Темы:	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Площадь четырехугольника	]
	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Пусть p – полупериметр остроугольного треугольника ABC, q – полупериметр треугольника, образованного основаниями его высот.
Докажите, что p : q = R : r, где R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 1956]