Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]

Задача 60605 (#03.153)

Тема:

[

Арифметика. Устный счет и т.п.

]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Григорианский календарь. Обыкновенный год содержит 365 дней, високосный – 366. n-й год, номер которого не делится на 100, является високосным тогда и только тогда, когда n кратно 4. n-й год, где n кратно 100, является високосным тогда и только тогда, когда n кратно 400. Так, например, 1996 и 2000 годы високосные, а 1997 и 1900 – нет. Эти правила были установлены папой Григорием XIII. До сих пор мы имели ввиду гражданский год, число дней которого должно быть целым. Астрономическим же годом называется период времени, за который Земля совершает полный оборот вокруг Солнца. Считая, что григорианский год полностью согласован с астрономическим, найдите продолжительность астрономического года.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60606 (#03.154)

Тема:

[

Цепные (непрерывные) дроби

]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Докажите, что любое иррациональное число α допускает представление α = [a₀; a₁, ..., a_n–1, α_n], где a₀ – целое, a₁, a₂, ..., a_n–1 – натуральные, α_n > 1 – иррациональное действительное. Отсюда следует, что каждому иррациональному действительному числу можно поставить в соответствие бесконечную цепную дробь.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60607 (#03.155)

Темы:	[	Цепные (непрерывные) дроби	]
Темы:	[	Предел последовательности, сходимость	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Докажите, что для любой бесконечной цепной дроби [a₀; a₁, ..., a_n, ...] существует предел её подходящих дробей – иррациональное число α. Объясните, почему если это число α разложить в бесконечную цепную дробь при помощи алгоритма задачи 60606, то получится бесконечная цепная дробь, равная исходной.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60608 (#03.156)

Темы:	[	Цепные (непрерывные) дроби	]
Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Предположим, что число α задано бесконечной цепной дробью α = [a₀; a₁, ..., a_n, ...]. Докажите, что где Q_k – знаменатели подходящих дробей.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60609 (#03.157)

Тема:

[

Алгоритм Евклида

]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Последовательности {a_k} и {b_k} строятся по следующему закону: a₁ = 1, a_n+1 = min(a_n, b_n), b_n+1 = |b_n – a_n| (n ≥ 1).
а) Докажите, что a_n ≠ 0 и a_n стремится к 0 при n → ∞.
б) Докажите, что последовательность имеет предел и найдите этот предел.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]