Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть C – одна из точек пересечения окружностей α и β. Касательная в этой точке к α пересекает β в точке B, а касательная в C к β пересекает α в точке A, причём A и B отличны от C, и угол ACB тупой. Прямая AB вторично пересекает α и β в точках N и M соответственно. Докажите, что  2MN < AB.

   Решение

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 819]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65369

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Пусть C – одна из точек пересечения окружностей α и β. Касательная в этой точке к α пересекает β в точке B, а касательная в C к β пересекает α в точке A, причём A и B отличны от C, и угол ACB тупой. Прямая AB вторично пересекает α и β в точках N и M соответственно. Докажите, что  2MN < AB.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65372

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

В неравнобедренном прямоугольном треугольнике ABC точка M – середина гипотенузы AC, точки H_a, H_c – ортоцентры треугольников ABM, CBM соответственно. Докажите, что прямые AH_c, CH_a пересекаются на средней линии треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65376

Темы:   [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Пусть K – точка на стороне BC треугольника ABC, KN – биссектриса треугольника AKC. Прямые BN и AK пересекаются в точке F, а прямые CF и AB – в точке D. Докажите, что KD – биссектриса треугольника AKB.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65380

Темы:   [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

В прямоугольном неравнобедренном треугольнике ABC точка M – середина гипотенузы AC, точки H_a, H_c – ортоцентры треугольников ABM, CBM соответственно, прямые AH_c, CH_a пересекаются в точке K. Докажите, что  ∠MBK = 90°.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65789

Темы:   [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Перенос стороны, диагонали и т.п. ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC, в которой  AB = BD.  Пусть M – середина стороны DС. Докажите, что  ∠MBC = ∠BCA.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 819]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями