Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть C – одна из точек пересечения окружностей α и β. Касательная в этой точке к α пересекает β в точке B, а касательная в C к β пересекает α в точке A, причём A и B отличны от C, и угол ACB тупой. Прямая AB вторично пересекает α и β в точках N и M соответственно. Докажите, что  2MN < AB.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65369  (#9.1)

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Пусть C – одна из точек пересечения окружностей α и β. Касательная в этой точке к α пересекает β в точке B, а касательная в C к β пересекает α в точке A, причём A и B отличны от C, и угол ACB тупой. Прямая AB вторично пересекает α и β в точках N и M соответственно. Докажите, что  2MN < AB.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65368  (#9.2)

Темы:   [ Метод ГМТ ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Точка Микеля ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Дан выпуклый четырёхугольник. Постройте циркулем и линейкой точку, проекции которой на прямые, содержащие его стороны, являются вершинами параллелограмма.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65370  (#9.3)

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Системы отрезков, прямых и окружностей ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Теорема косинусов ] [ Квадратные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

На плоскости нарисованы 100 кругов, каждые два из которых имеют общую точку (возможно, граничную).
Докажите, что найдётся точка, принадлежащая не менее чем 15 кругам.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65371  (#9.4)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Дан фиксированный треугольник ABC. По его описанной окружности движется точка P так, что хорды BC и AP пересекаются. Прямая AP разрезает треугольник BPC на два меньших, центры вписанных окружностей которых обозначим через I₁ и I₂ соответственно. Прямая I₁I₂ пересекает прямую BC в точке Z. Докажите, что все прямые ZP проходят через фиксированную точку.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65372  (#9.5)

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

В неравнобедренном прямоугольном треугольнике ABC точка M – середина гипотенузы AC, точки H_a, H_c – ортоцентры треугольников ABM, CBM соответственно. Докажите, что прямые AH_c, CH_a пересекаются на средней линии треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями