Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 819]

Задача 65369

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Мухин Д.Г.

Пусть C – одна из точек пересечения окружностей α и β. Касательная в этой точке к α пересекает β в точке B, а касательная в C к β пересекает α в точке A, причём A и B отличны от C, и угол ACB тупой. Прямая AB вторично пересекает α и β в точках N и M соответственно. Докажите, что 2MN < AB.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65372

Темы:	[	Прямоугольные треугольники (прочее)	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Швецов Д.В.

В неравнобедренном прямоугольном треугольнике ABC точка M – середина гипотенузы AC, точки H_a, H_c – ортоцентры треугольников ABM, CBM соответственно. Докажите, что прямые AH_c, CH_a пересекаются на средней линии треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65376

Темы:	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
Темы:	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Автор: Карлюченко А.

Пусть K – точка на стороне BC треугольника ABC, KN – биссектриса треугольника AKC. Прямые BN и AK пересекаются в точке F, а прямые CF и AB – в точке D. Докажите, что KD – биссектриса треугольника AKB.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65380

Темы:	[	Медиана, проведенная к гипотенузе	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Автор: Швецов Д.В.

В прямоугольном неравнобедренном треугольнике ABC точка M – середина гипотенузы AC, точки H_a, H_c – ортоцентры треугольников ABM, CBM соответственно, прямые AH_c, CH_a пересекаются в точке K. Докажите, что ∠MBK = 90°.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65789

Темы:	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Перенос стороны, диагонали и т.п.	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Тригуб А.

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC, в которой AB = BD. Пусть M – середина стороны DС. Докажите, что ∠MBC = ∠BCA.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 819]