Версия для печати
Убрать все задачи

---

По кругу лежит  $2n + 1$  монета орлом вверх. Двигаясь по часовой стрелке, делают  $2n + 1$  переворот: переворачивают какую-то монету, одну монету пропускают и переворачивают следующую, две монеты пропускают и переворачивают следующую, три монеты пропускают и переворачивают следующую, и т.д., наконец пропускают 2n монет и переворачивают следующую. Докажите, что теперь ровно одна монета лежит решкой вверх.

   Решение

Страница: << 97 98 99 100 101 102 103 >> [Всего задач: 1703]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66721

Темы:   [ Средняя линия треугольника ] [ Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

В треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина стороны $BC$, точка $E$ лежит внутри стороны $AC$,  $BE \geqslant 2AM$.  Докажите, что треугольник $ABC$ тупоугольный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66736

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

По кругу лежит  $2n + 1$  монета орлом вверх. Двигаясь по часовой стрелке, делают  $2n + 1$  переворот: переворачивают какую-то монету, одну монету пропускают и переворачивают следующую, две монеты пропускают и переворачивают следующую, три монеты пропускают и переворачивают следующую, и т.д., наконец пропускают 2n монет и переворачивают следующую. Докажите, что теперь ровно одна монета лежит решкой вверх.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66737

Темы:   [ Теория чисел. Делимость (прочее) ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Произведение натуральных чисел $m$ и $n$ делится на их сумму. Докажите, что  $m + n \leqslant n^2$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66738

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

В прямоугольник $ABCD$ вписывают равнобедренные треугольники с заданным углом α при вершине, противолежащей основанию, так, что эта вершина лежит на отрезке $BC$, а концы основания – на отрезках $AB$ и $CD$. Докажите, что середины оснований у всех таких треугольников совпадают.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66739

Тема:   [ Кооперативные алгоритмы ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Фокусник с помощником показывают фокус. В ряд стоят 12 закрытых пустых шкатулок. Фокусник уходит, а зритель на виду у помощника прячет по монетке в любые две шкатулки по своему выбору. Затем возвращается фокусник. Помощник открывает одну шкатулку, в которой нет монетки. Далее фокусник указывает на 4 шкатулки, и их одновременно открывают. Цель фокусника – открыть обе шкатулки с монетками. Предложите способ, как договориться фокуснику с помощником, чтобы этот фокус всегда удавался.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 97 98 99 100 101 102 103 >> [Всего задач: 1703]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями