Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 12]

Задача 65234

Темы:	[	Сферы (прочее)	]
	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Перпендикулярные плоскости	]
	[	Окружности на сфере	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Кожевников П.А.

В пространстве дан треугольник ABC и сферы S₁ и S₂, каждая из которых проходит через точки A, B и C. Для точек M сферы S₁, не лежащих в плоскости треугольника ABC, проводятся прямые MA, MB и MC, пересекающие сферу S₂ вторично в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Докажите, что плоскости, проходящие через точки A₁, B₁ и C₁, касаются фиксированной сферы либо проходят через фиксированную точку.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65235

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три окружности пересекаются в одной точке	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Точка Микеля	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Прокопенко Д.

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC высоты CC₁ и BB₁ пересекают прямую, проходящую через вершину A и параллельную прямой BC, в точках P и Q. Пусть A₀ – середина стороны BC, а AA₁ – высота. Прямые A₀C₁ и A₀B₁ пересекают прямую PQ в точках K и L. Докажите, что описанные окружности треугольников PQA₁, KLA₀, A₁B₁C₁ и окружность с диаметром AA₁ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 12]