Страница:
<< 52 53 54 55
56 57 58 >> [Всего задач: 367]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
В компании из 10 человек произошло 14 попарных ссор. Докажите, что все равно можно составить компанию из трёх друзей.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
Пусть p – простое число, p ≠ 2, 5. Докажите, что существует число вида 1...1, кратное p.
Придумайте два решения задачи: одно, использующее теорему Ферма (задача
60736),
и второе – принцип Дирихле.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Есть 100 красных, 100 жёлтых и 100 зелёных палочек. Известно, что из любых трёх палочек трёх разных цветов можно составить треугольник.
Докажите, что найдётся такой цвет, что из любых трёх палочек этого цвета можно составить треугольник.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Дан выпуклый семиугольник. Выбираются четыре произвольных его угла и вычисляются их синусы, от остальных трёх углов вычисляются косинусы. Оказалось, что сумма таких семи чисел не зависит от изначального выбора четырёх углов. Докажите, что у этого семиугольника найдутся четыре равных угла.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
Дана квадратная таблица. В каждой её клетке стоит либо плюс, либо минус, причём всего плюсов и минусов поровну.
Докажите, что или в каких-то двух строках, или в каких-то двух столбцах одинаковое количество плюсов.
Страница:
<< 52 53 54 55
56 57 58 >> [Всего задач: 367]
Фильтр
