Страница:
<< 5 6 7 8
9 10 11 >> [Всего задач: 67]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Дана окружность, точка
A на ней и точка
M внутри нее.
Рассматриваются хорды
BC , проходящие через
M . Докажите, что окружности,
проходящие через середины сторон всех треугольников
ABC , касаются некоторой
фиксированной окружности.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Дан треугольник $ABC$ и окружности $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$, $\omega_4$ с центрами $X$, $Y$, $Z$, $T$ соответственно такие, что каждая из прямых $BC$, $CA$, $AB$ высекает на них четыре равных отрезка. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника $ABC$ делит отрезок с концами в $X$ и радикальном центре $\omega_2$, $\omega_3$, $\omega_4$ в отношении $2:1$, считая от $X$.
В треугольнике ABC BC = 4, AB = 2 
. Известно, что центр окружности, проходящей через середины сторон треугольника, лежит на биссектрисе угла C. Найдите AC.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
Фиксированы окружность, точка
A на ней и точка K вне окружности. Секущая, проходящая через
K, пересекает окружность в точках P и Q. Докажите, что
ортоцентры треугольников APQ лежат на фиксированной окружности.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Точки Ia, Ib и Ic – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон соответственно BC, AC и AB треугольника ABC, I — центр вписанной окружности этого треугольника. Докажите, что описанная окружность треугольника ABC проходит через середины сторон треугольника IaIbIc и середины отрезков IIa, IIb и IIc.
Страница:
<< 5 6 7 8
9 10 11 >> [Всего задач: 67]
Фильтр
Решение 
