Версия для печати
Убрать все задачи

---

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена прямая, вторично пересекающая первую окружность в точке C, а вторую – в точке D. Пусть M и N – середины дуг BC и BD, не содержащих точку A, а K – середина отрезка CD. Докажите, что угол MKN прямой. (Можно считать, что точки C и D лежат по разные стороны от точки A.)

   Решение

Страница: << 71 72 73 74 75 76 77 >> [Всего задач: 496]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109647

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Композиции поворотов ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена прямая, вторично пересекающая первую окружность в точке C, а вторую – в точке D. Пусть M и N – середины дуг BC и BD, не содержащих точку A, а K – середина отрезка CD. Докажите, что угол MKN прямой. (Можно считать, что точки C и D лежат по разные стороны от точки A.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111627

Темы:   [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Вписанные четырехугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, M – точка пересечения его диагоналей, O₁ и O₂ – центры вписанных окружностей треугольников ABM и CMD соответственно, K – середина дуги AD, не содержащей точек B и C,  ∠O₁KO₂ = 60°,  KO₁ = 10.  Найдите O₁O₂.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111816

Темы:   [ Угол между касательной и хордой ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Дан треугольник ABC, в котором  AB > BC.  Касательная к его описанной окружности в точке B пересекает прямую AC в точке P. Точка D симметрична точке B относительно точки P, а точка E симметрична точке C относительно прямой BP. Докажите, что четырёхугольник ABED – вписанный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115286

Темы:   [ Угол между касательной и хордой ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём касательные в точках B и D пересекаются в точке K, лежащей на прямой AC.
  а) Докажите, что  AB·CD = BC·AD.
  б) Прямая, параллельная KB, пересекает прямые BA, BD и BC в точках P, Q и R. Докажите, что  PQ = QR.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115666

Темы:   [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В выпуклом четырёхугольнике ABCD угол ABD равен 65°, угол CBD равен 35°, угол ADC равен 130°, и  AB = BC.  Найдите углы четырёхугольника ABCD.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 71 72 73 74 75 76 77 >> [Всего задач: 496]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями