Страница:
<< 54 55 56 57
58 59 60 >> [Всего задач: 383]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
а) Электрическая схема имеет вид решётки 3×3: всего в схеме 16 узлов (вершины квадратиков решётки), которые соединены проводами (стороны квадратиков решётки). Возможно, часть проводов перегорела. За одно измерение можно выбрать любую пару узлов схемы и проверить, проходит ли между ними ток (то есть, проверить, существует ли цепочка неперегоревших проводов, соединяющая эти узлы). В действительности схема такова, что ток проходит от любого узла к любому. За какое наименьшее число измерений всегда можно в этом удостовериться?
б) Тот же вопрос для решётки 7×7 (всего 64 узла).
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
В стране несколько городов, соединённых дорогами с односторонним и
двусторонним движением. Известно, что из каждого города в любой другой можно
проехать ровно одним путём, не проходящим два раза через один и тот же город.
Докажите, что страну можно разделить на три губернии так, чтобы ни одна дорога
не соединяла два города из одной губернии.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 6,7,8,9
|
Кощей Бессмертный похитил у царя трёх дочерей. Отправился Иван-царевич их выручать. Приходит он к Кощею, а тот ему и говорит: "Завтра поутру увидишь пять заколдованных девушек. Три из них – царёвы дочери, а ещё две – мои. Для тебя они будут неотличимы, а сами друг дружку различать смогут. Я подойду к одной из них и стану у неё спрашивать про каждую из пятерых: "Это царевна?". Она может отвечать и правду, и неправду, но ей дозволено назвать царевнами ровно двоих (себя тоже можно называть). Потом я так же опрошу каждую из остальных девушек, и они тоже должны будут назвать царевнами ровно двоих. Если после этого угадаешь, кто из них и вправду царевны, отпущу тебя восвояси невредимым. А если ещё и догадаешься, которая царевна старшая, которая средняя, а которая младшая, то и их забирай с собой". Иван может передать царевнам записку, чтобы научить их, кого назвать царевнами. Может ли он независимо от ответов Кощеевых дочерей
а) вернуться живым?
б) увезти царевен с собой?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены дорогами. При этом из каждого города выходит хотя бы три дороги.
Докажите, что существует циклический маршрут, длина которого не делится на 3.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Назовем расстоянием между треугольниками $A_1A_2A_3$ и $B_1B_2B_3$ наименьшее из расстояний $A_iB_j$. Можно ли так расположить на плоскости пять треугольников, чтобы расстояние между любыми двумя из них равнялось сумме радиусов их описанных окружностей?
Страница:
<< 54 55 56 57
58 59 60 >> [Всего задач: 383]
Фильтр
Решение 
