Страница:
<< 19 20 21 22
23 24 25 >> [Всего задач: 231]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Дано натуральное число $n > 1$. Назовём положительную обыкновенную дробь (не обязательно несократимую)
хорошей, если сумма её числителя и знаменателя равна $n$. Докажите, что любую положительную обыкновенную дробь, знаменатель которой меньше $n$, можно выразить через хорошие дроби (не обязательно различные) с помощью операций сложения и вычитания тогда и только тогда, когда $n$ — простое число.
Напомним, что обыкновенная дробь — это отношение целого числа к натуральному.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10,11
|
Существует ли число, которое может быть представлено в виде $\frac1n + \frac1m$, где $m$ и $n$ натуральные, не менее чем ста способами? Ответ объясните.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
Пусть K(x) равно числу таких несократимых дробей a/b, что a < x и b < x (a и b – натуральные числа). Например, K(5/2) = 3 (дроби 1, 2, ½).
Вычислить сумму K(100) + K(100/2) + K(100/3) + ... + K(100/99) + K(100/100).
а) Существуют ли такие натуральные числа a, b, c, что из двух чисел a/b + b/c + c/a и b/a + c/b + a/c ровно одно – целое?
б) Докажите, что если они оба целые, то a = b = c.
Назовём сочетанием цифр несколько цифр, записанных подряд. В стране Роботландии некоторые сочетания цифр объявлены запрещёнными. Известно, что запрещённых сочетаний конечное число и существует бесконечная десятичная дробь, не содержащая запрещённых сочетаний. Докажите, что существует бесконечная периодическая десятичная дробь, не содержащая запрещённых сочетаний.
Страница:
<< 19 20 21 22
23 24 25 >> [Всего задач: 231]
Фильтр
Решение 
