Каталог по темам

Задачи

Страница: << 92 93 94 95 96 97 98 >> [Всего задач: 1547]

Задача 57993

Тема:

[

Гомотетичные окружности

]

Сложность: 5+
Классы: 9

В каждый угол треугольника ABC вписана окружность, касающаяся описанной окружности. Пусть A₁, B₁ и C₁ — точки касания этих окружностей с описанной окружностью. Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 58031

Тема:

[

Окружность подобия трех фигур

]

Сложность: 5+
Классы: 9,10

Прямые A₂B₂ и A₃B₃, A₃B₃ и A₁B₁, A₁B₁ и A₂B₂ пересекаются в точках P₁, P₂, P₃ соответственно.
а) Докажите, что описанные окружности треугольников A₁A₂P₃, A₁A₃P₂ и A₂A₃P₁ пересекаются в одной точке, лежащей на окружности подобия отрезков A₁B₁, A₂B₂ и A₃B₃.
б) Пусть O₁ — центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок A₂B₂ в отрезок A₃B₃; точки O₂ и O₃ определяются аналогично. Докажите, что прямые P₁O₁, P₂O₂ и P₃O₃ пересекаются в одной точке, лежащей на окружности подобия отрезков A₁B₁, A₂B₂ и A₃B₃.

Прислать комментарий Решение

Задача 111726

Темы:	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Неравенства для элементов треугольника (прочее)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Применение тригонометрических формул (геометрия)	]
	[	Возрастание и убывание. Исследование функций	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11

В треугольнике провели серединные перпендикуляры к его сторонам и измерили их отрезки, лежащие внутри треугольника.
а) Все три отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равносторонний?
б) Два отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равнобедренный?
в) Могут ли длины отрезков равняться 4, 4 и 3?

Прислать комментарий

Решение

Задача 67225

Темы:	[	Изогональное сопряжение	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Шевцов А.

В треугольнике $ABC$ проведена медиана $AM$ и на ней выбрана точка $D$. Касательные, проведенные к описанной окружности треугольника $BDC$ в точках $B$ и $C$, пересекаются в точке $K$. Докажите, что $DD'$ параллельно $AK$, где $D'$ – точка, изогонально сопряжённая точке $D$ относительно треугольника $ABC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 108139

Темы:	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]
	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]

Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

Автор: Берлов С.Л.

Пусть ABCD – вписанный четырёхугольник, O – точка пересечения диагоналей AC и BD . Пусть окружности, описанные около треугольников ABO и COD , пересекаются в точке K . Точка L такова, что треугольник BLC подобен треугольнику AKD . Докажите, что если четырёхугольник BLCK выпуклый, то он он является описанным.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 92 93 94 95 96 97 98 >> [Всего задач: 1547]