Две окружности с центрами O₁ и O₂ пересекаются в точках A и B. Окружность, проходящая через точки O₁, B и O₂ пересекает вторую окружность также и в точке P. Докажите, что точки O₁, A и P лежат на одной прямой.

   Решение

Страница: << 72 73 74 75 76 77 78 >> [Всего задач: 496]      

Две окружности с центрами O₁ и O₂ пересекаются в точках A и B. Окружность, проходящая через точки O₁, B и O₂ пересекает вторую окружность также и в точке P. Докажите, что точки O₁, A и P лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC известно, что BAC = 75^o, AB = 1, AC = . На стороне BC выбрана точка M, причём BAM = 30^o. Прямая AM пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке N, отличной от A. Найдите AN.

Прислать комментарий

Решение

Диагонали выпуклого четырёхугольника взаимно перпендикулярны. Докажите, что четыре проекции точки пересечения диагоналей на стороны четырёхугольника лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Через вершины A и C треугольника ABC проведена окружность K, центр которой лежит на описанной окружности треугольника ABC. Окружность K пересекает сторону AB в точке M. Найдите угол BAC, если  AM : AB = 2 : 7,  а  ∠B = arcsin ⁴/₅.

Прислать комментарий

Решение

а) Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из точки P описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой (прямая Симсона).

б) Основания перпендикуляров, опущенных из некоторой точки P на стороны треугольника или их продолжения, лежат на одной прямой. Докажите, что точка P лежит на описанной окружности треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 72 73 74 75 76 77 78 >> [Всего задач: 496]