Каталог по темам

Задачи

Страница: << 112 113 114 115 116 117 118 >> [Всего задач: 590]

Задача 109627

Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Куб	]
	[	Линейные неравенства и системы неравенств	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Шаповалов А.В.

В вершинах куба записали восемь различных натуральных чисел, а на каждом его ребре – наибольший общий делитель двух чисел, записанных на концах этого ребра. Могла ли сумма всех чисел, записанных в вершинах, оказаться равной сумме всех чисел, записанных на рёбрах?

Прислать комментарий

Решение

Задача 115867

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]
	[	Средняя линия трапеции	]
	[	Признаки подобия	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Блинков А.Д.

Дан четырёхугольник ABCD. Оказалось, что описанная окружность треугольника ABC, касается стороны CD, а описанная окружность треугольника ACD касается стороны AB. Докажите, что диагональ AC меньше, чем расстояние между серединами сторон AB и CD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98579

Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Сендеров В.А., Спивак А.В.

Существуют ли такие иррациональные числа a и b, что a > 1, b > 1, и [a^m] отлично от [bⁿ] при любых натуральных числах m и n?

Прислать комментарий

Решение

Задача 64980

Темы:	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Богданов И.И.

В угол вписаны две окружности ω и Ω. Прямая l пересекает стороны угла в точках A и F, окружность ω в точках B и C, окружность Ω в точках D и E (порядок точек на прямой – A, B, C, D, E, F). Пусть BC = DE. Докажите, что AB = EF.

Прислать комментарий

Решение

Задача 77897

Темы:	[	Экстремальные свойства треугольника (прочее)	]
	[	Свойства симметрии и центра симметрии	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Классические неравенства (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

В данный треугольник поместить центрально-симметричный многоугольник наибольшей площади.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 112 113 114 115 116 117 118 >> [Всего задач: 590]