Страница:
<< 105 106 107 108
109 110 111 >> [Всего задач: 694]
|
|
|
Сложность: 6+
Классы: 8,9,10,11
|
Все натуральные числа, в десятичной записи которых не больше
n цифр, разбили на два множества следующим образом. В первое множество входят числа с нечётной суммой цифр, а во
второе — c чётной суммой цифр. Докажите, что для любого натурального числа
k £ n сумма
k-х степеней всех чисел первого множества равна сумме
k-х степеней всех чисел второго множества.
|
|
|
Сложность: 6+
Классы: 9,10,11
|
На бесконечной в обе стороны полосе из клеток,
пронумерованных целыми числами, лежит несколько камней (возможно, по
нескольку в одной клетке). Разрешается выполнять следующие действия:
-
Снять по одному камню с клеток n-1 и n и положить
один камень в клетку n+1 ;
-
Снять два камня с клетки n и положить по одному
камню в клетки n+1 , n-2 .
Докажите, что при любой последовательности действий мы достигнем ситуации,
когда указанные действия больше выполнять нельзя, и эта конечная ситуация
не зависит от последовательности действий (а зависит только от начальной
раскладки камней по клеткам).
|
|
|
Сложность: 2
Классы: 7,8,9
|
Докажите тождество: 1 + 3 + 5 +...+ (2
n – 1) =
n2.
Величины углов при вершинах A, B, C треугольника ABC составляют
арифметическую прогрессию с разностью π/7. Биссектрисы этого треугольника пересекаются в точке D. Точки A1, B1, C1 находятся на продолжениях отрезков DA, DB, DC за точки A, B, C соответственно, на одинаковом расстоянии от точки D. Докажите, что величины углов A1, B1, C1 также образуют арифметическую
прогрессию. Найдите её разность.
|
|
|
Сложность: 2+
Классы: 8,9,10
|
Докажите неравенство для натуральных n > 1:
Страница:
<< 105 106 107 108
109 110 111 >> [Всего задач: 694]
Фильтр
Решение 
