ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Четырехугольники >> Вписанные четырехугольники
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Окружности  $ \alpha$,$ \beta$,$ \gamma$ и $ \delta$ касаются данной окружности в вершинах A, B, C и D выпуклого четырехугольника ABCD. Пусть  t$\scriptstyle \alpha$$\scriptstyle \beta$ — длина общей касательной к окружностям $ \alpha$ и $ \beta$ (внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее);  t$\scriptstyle \beta$$\scriptstyle \gamma$, t$\scriptstyle \gamma$$\scriptstyle \delta$ и т. д. определяются аналогично. Докажите, что  t$\scriptstyle \alpha$$\scriptstyle \beta$t$\scriptstyle \gamma$$\scriptstyle \delta$ + t$\scriptstyle \beta$$\scriptstyle \gamma$t$\scriptstyle \delta$$\scriptstyle \alpha$ = t$\scriptstyle \alpha$$\scriptstyle \gamma$t$\scriptstyle \beta$$\scriptstyle \delta$ (обобщенная теорема Птолемея).

   Решение

Задачи

Страница: << 38 39 40 41 42 43 44 >> [Всего задач: 496]      

  с решениями  

Задача 57054

Тема:   [ Теорема Птолемея ]
Сложность: 6
Классы: 9

Окружности радиуса x и y касаются окружности радиуса R, причем расстояние между точками касания равно a. Вычислите длину следующей общей касательной к первым двум окружностям:
а) внешней, если оба касания внешние или внутренние одновременно;
б) внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57055

 [Обобщенная теорема Птолемея]
Тема:   [ Теорема Птолемея ]
Сложность: 6
Классы: 9,10

Окружности  $ \alpha$,$ \beta$,$ \gamma$ и $ \delta$ касаются данной окружности в вершинах A, B, C и D выпуклого четырехугольника ABCD. Пусть  t$\scriptstyle \alpha$$\scriptstyle \beta$ — длина общей касательной к окружностям $ \alpha$ и $ \beta$ (внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно, и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее);  t$\scriptstyle \beta$$\scriptstyle \gamma$, t$\scriptstyle \gamma$$\scriptstyle \delta$ и т. д. определяются аналогично. Докажите, что  t$\scriptstyle \alpha$$\scriptstyle \beta$t$\scriptstyle \gamma$$\scriptstyle \delta$ + t$\scriptstyle \beta$$\scriptstyle \gamma$t$\scriptstyle \delta$$\scriptstyle \alpha$ = t$\scriptstyle \alpha$$\scriptstyle \gamma$t$\scriptstyle \beta$$\scriptstyle \delta$ (обобщенная теорема Птолемея).
Прислать комментарий     Решение

Задача 57248

 [Задача Брахмагупты]
Темы:   [ Теорема Птолемея ]
[ Четырехугольники (построения) ]
Сложность: 6
Классы: 8,9

Постройте вписанный четырехугольник по четырем сторонам (Брахмагупта).
Прислать комментарий     Решение

Задача 67217

Темы:   [ Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями ]
[ Планиметрия (прочее) ]
Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Рябов П., Заславский А.А.

В треугольнике $ABC$ с тупым углом $B$ отмечены такие точки $P$ и $Q$ на $AC$, что $AP=PB$, $BQ=QC$. Окружность $BPQ$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $N$ и $M$ соответственно.

а) (П.Рябов) Докажите, что точка $R$ пересечения $PM$ и $NQ$ равноудалена от $A$ и $C$.

б) (А.Заславский) Пусть $BR$ пересекает $AC$ в точке $S$. Докажите, что $MN\perp OS$, где $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$.
Прислать комментарий     Решение

Задача 110783

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Описанные четырехугольники ]
[ Четырехугольники (построения) ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Хорды и секущие (прочее) ]
Сложность: 6
Классы: 9,10

Автор: Заславский А.А.

На доске был нарисован четырехугольник, в который можно вписать и около которого можно описать окружность. В нем отметили центры этих окружностей и точку пересечения прямых, соединяющих середины противоположных сторон, после чего сам четырехугольник стерли. Восстановите его с помощью циркуля и линейки.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 38 39 40 41 42 43 44 >> [Всего задач: 496]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .