Версия для печати
Убрать все задачи

---

Из точки M, лежащей внутри данного треугольника ABC, опущены перпендикуляры MA₁, MB₁, MC₁ на прямые BC, CA, AB. Для каких точек M внутри данного треугольника ABC величина     принимает наименьшее значение?

   Решение

Страница: << 110 111 112 113 114 115 116 >> [Всего задач: 590]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 57539

Темы:   [ Экстремальные точки треугольника ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4+ Классы: 9

Точки A₁, B₁ и C₁ взяты на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC, причём отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке M.
При каком положении точки M величина  ^MA₁/_AA1·^MB₁/_BB1·^MC₁/_CC1 максимальна?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57540

Темы:   [ Экстремальные точки треугольника ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Из точки M, лежащей внутри данного треугольника ABC, опущены перпендикуляры MA₁, MB₁, MC₁ на прямые BC, CA, AB. Для каких точек M внутри данного треугольника ABC величина     принимает наименьшее значение?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61394

Темы:   [ Произведения и факториалы ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Классические неравенства (прочее) ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Индукция (прочее) ] [ Число e ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Докажите неравенства:
  а)  

  б)     при  n > 1;

  в)     при n > 6.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79458

Темы:   [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ] [ Индукция (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

По кругу расставлено не менее четырёх неотрицательных чисел, в сумме равных единице.
Докажите, что сумма всех попарных произведений соседних чисел не больше ¼.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107843

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Замена переменных ] [ Тождественные преобразования ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Положительные числа a, b и c таковы, что  abc = 1.  Докажите неравенство

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 110 111 112 113 114 115 116 >> [Всего задач: 590]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями