Каталог по темам

Задачи

Страница: << 148 149 150 151 152 153 154 >> [Всего задач: 12601]

Задача 58392

Тема:

[

Связь величины угла с длиной дуги и хорды

]

Сложность: 3
Классы: 9,10

а) Докажите, что все окружности и прямые задаются уравнениями вида

Az $\displaystyle \bar{z}$ + cz + $\displaystyle \bar{c}$ $\displaystyle \bar{z}$ + D = 0,

где A и D — вещественные числа, а c — комплексное число. Наоборот, докажите, что любое уравнение такого вида задает либо окружность, либо прямую, либо точку, либо пустое множество.
б) Докажите, что при инверсии окружности и прямые переходят в окружности и прямые.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58468

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Докажите, что если ac - b² ≠ 0, то с помощью параллельного переноса x' = x + x₀, y' = y + y₀ уравнение Q(x, y) + 2dx + 2ey = f, где Q (x, y) = ax² + 2bxy + cy² можно привести к виду

ax'² + 2bx'y' + cy'² = f',

где f' = f - Q(x₀, y₀) + 2(dx₀ + ey₀).

Прислать комментарий

Решение

Задача 58469

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Докажите, что с помощью поворота

x'' = x'cosφ + y'sinφ, y'' = - x'sinφ + y'cosφ

в уравнении ax'² + 2bx'y' + cy'² = f' коэффициент при x'y' можно сделать равным нулю.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58470

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Докажите, что при повороте x'' = x'cosφ + y'sinφ, y'' = - x'sinφ + y'cosφ выражение ax'² + 2bx'y' + cy'² переходит в a₁x'² + 2b₁x''y'' + c₁y'², причём a₁c₁ - b₁² = ac - b².

Прислать комментарий Решение

Задача 58471

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Докажите, что если ac - b² ≠ 0, то кривая Q(x, y) + 2dx + 2ey = f, где Q (x, y) = ax² + 2bxy + cy² изометрична либо кривой ${\dfrac{x^2}{\alpha^2}}$ + ${\dfrac{y^2}{\beta^2}}$ = 1 (называемой эллипсом), либо кривой ${\dfrac{x^2}{\alpha^2}}$ - ${\dfrac{y^2}{\beta^2}}$ = 1, (называемой гиперболой), либо паре пересекающихся прямых ${\dfrac{x^2}{\alpha^2}}$ = ${\dfrac{y^2}{\beta^2}}$ , либо представляет собой одну точку или пустое множество.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 148 149 150 151 152 153 154 >> [Всего задач: 12601]