Версия для печати
Убрать все задачи

---

Вокруг треугольника ABC описали окружность k. На сторонах треугольника отметили три точки A₁, B₁ и C₁, после чего сам треугольник стёрли. Докажите, что его можно однозначно восстановить тогда и только тогда, когда прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 51]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64978

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Из высот треугольника можно составить треугольник. Верно ли, что из его биссектрис также можно составить треугольник?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116394

Темы:   [ Многоугольники (прочее) ] [ Кривые второго порядка ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Соображения непрерывности ] [ Общие четырехугольники ] [ Доказательство от противного ] [ Против большей стороны лежит больший угол ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Существует ли выпуклый N-угольник, все стороны которого равны, а все вершины лежат на параболе  y = x²,  если
  а)  N = 2011;
  б)  N = 2012?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116774

Темы:   [ Пирамида (прочее) ] [ Свойства разверток ] [ Касательные к сферам ] [ Соображения непрерывности ] [ Неравенства с трехгранными углами ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Дана пирамида SA₁A₂...A_n, основание которой – выпуклый многоугольник A₁A₂...A_n. Для каждого  i = 1, 2, ..., n  в плоскости основания построили треугольник X_iA_iA_i+1, равный треугольнику SA_iA_i+1 и лежащий по ту же сторону от прямой A_iA_i+1, что и основание (мы полагаем  A_n+1 = A₁).  Докажите, что построенные треугольники покрывают всё основание.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64749

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Построение треугольников по различным точкам ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Соображения непрерывности ] [ Доказательство от противного ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Вокруг треугольника ABC описали окружность k. На сторонах треугольника отметили три точки A₁, B₁ и C₁, после чего сам треугольник стёрли. Докажите, что его можно однозначно восстановить тогда и только тогда, когда прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35575

Темы:   [ Теорема о промежуточном значении. Связность ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Дана выпуклая фигура и точка A внутри нее. Докажите, что найдется хорда (т.е. отрезок, соединяющий две граничные точки выпуклой фигуры), проходящая через точку A и делящаяся точкой A пополам.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 51]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями