Каталог по темам

Задачи

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 222]

Задача 109752

Темы:	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Джукич Д.

Найдите все такие нечётные натуральные n > 1, что для любых взаимно простых делителей a и b числа n число a + b – 1 также является делителем n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73693

Темы:	[	Доказательство от противного	]
	[	Обратный ход	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 7,8,9

Треугольная таблица строится по следующему правилу: в верхней её строке написано одно только натуральное число a > 1, а далее под каждым числом k слева пишем число k² , а справа — число k + 1. Докажите, что в каждой строке таблицы все числа разные.

Например, при a = 2 вторая строка состоит из чисел 4 и 3, третья — из чисел 16, 5, 9 и 4, четвёртая — из чисел 256, 17, 25, 6, 81, 10, 16 и 5.

Прислать комментарий Решение

Задача 109744

Темы:	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Автор: Джукич Д.

Найдите все такие натуральные числа n, что для любых двух его взаимно простых делителей a и b число a + b – 1 также является делителем n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109796

Темы:	[	Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов	]
	[	Тождественные преобразования	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Быстриков А.

Даны многочлены P(x), Q(x). Известно, что для некоторого многочлена R(x, y) выполняется равенство P(x) – P(y) = R(x, y)(Q(x) – Q(y)).
Докажите, что существует такой многочлен S(x), что P(x) = S(Q(x)).

Прислать комментарий

Решение

Задача 109805

Темы:	[	Связность и разложение на связные компоненты	]
	[	Ориентированные графы	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Классическая комбинаторика (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Авторы: Карпов Д.В., Смирнов А.

В стране 1001 город, каждые два города соединены дорогой с односторонним движением. Из каждого города выходит ровно 500 дорог, в каждый город входит ровно 500 дорог. От страны отделилась независимая республика, в которую вошли 668 городов. Докажите, что из каждого города этой республики можно доехать до любого другого ее города, не выезжая за пределы республики.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 222]