Каталог по темам

Задачи

Страница: << 195 196 197 198 199 200 201 >> [Всего задач: 1221]

Задача 73708

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Симметрия и инволютивные преобразования	]
	[	Перебор случаев	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Автор: Лиманов Л.Г.

В квадратной таблице 4×4 расставлены числа 1, 2, 3, ..., 16 так, что сумма четырёх чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой из двух диагоналей равна одному и тому же числу, причём числа 1 и 16 стоят в противоположных углах таблицы. Докажите, что в этом "магическом квадрате" сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, одна и та же.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73779

Темы:	[	Средние величины	]
	[	Квадратичные неравенства (несколько переменных)	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Даны два набора из n вещественных чисел: a₁, a₂, ..., a_n и b₁, b₂, ..., b_n. Докажите, что если выполняется хотя бы одно из двух условий:
а) из a_i < a_j следует, что b_i ≤ b_j;
б) из a_i < a < a_j, где a = ¹/_n (a₁ + a₂ + ... + a_n), следует, что b_i ≤ b_j,
то верно неравенство n(a₁ b₁ + a₂b₂ + ... + a_nb_n) ≥ (a₁ + a₂ + ... + a_n)(b₁ + b₂ + ... + b_n).

Прислать комментарий

Решение

Задача 73797

Темы:	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
	[	Полуинварианты	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Рабинович В., Рабинович Л.

Какое наибольшее количество а) ладей; б) ферзей можно расставить на шахматной доске 8×8 так, чтобы каждая из этих фигур была под ударом не более чем одной из остальных?

Прислать комментарий

Решение

Задача 78718

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Задачи с ограничениями	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Правило произведения	]
	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]

Сложность: 4
Классы: 10

Одна под другой выписаны 2^n–1 различных последовательностей из нулей и единиц длины n. Известно, что для любых трёх из выписанных последовательностей найдётся такой номер p, что в p-м разряде у всех трёх стоит 1. Доказать, что в некотором разряде у всех выписанных последовательностей стоит 1 и такой разряд только один.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78719

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

В стране Анчурии, где правит президент Мирафлорес, приблизилось время новых президентских выборов. В стране ровно 20 миллионов избирателей, из которых только один процент поддерживает Мирафлореса (регулярная армия Анчурии). Мирафлорес, естественно, хочет быть избранным, но, с другой стороны, он хочет, чтобы выборы были "демократическими". "Демократическим голосованием" Мирафлорес называет вот что: все избиратели разбиваются на равные группы; каждая из этих групп вновь разбивается на некоторое количество равных групп, причём большие группы могут разбиваться на разное количество меньших групп, затем эти группы снова разбиваются и т.д. В самых мелких группах выбирают представителя группы "выборщика" для голосования в большей группе: выборщики в этой большей группе выбирают выборщика для голосования в ещё большей группе и т.д. Наконец, представители самых больших групп выбирают президента. Мирафлорес делит избирателей на группы по своей воле и инструктирует своих сторонников, как им голосовать. Сможет ли он так организовать "демократические" выборы, чтобы его выбрали? (В каждой группе выборщики выбирают своего представителя простым большинством. При равенстве голосов побеждает оппозиция.)

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 195 196 197 198 199 200 201 >> [Всего задач: 1221]