В плоскости дан треугольник A₁A₂A₃ и прямая l вне его, образующая с продолжением сторон треугольника A₁A₂, A₂A₃, A₃A₁ соответственно углы α₃, α₁, α₂.  Через точки A₁, A₂, A₃ проводятся прямые, образующие с l соответственно углы  π – α₁,  π – α₂,  π – α₃. Доказать, что эти прямые пересекаются в одной точке. Все углы отсчитываются от прямой l в одном направлении.

   Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 113]      

В треугольнике ABC угол C прямой. Докажите, что при гомотетии с центром C и коэффициентом 2 вписанная окружность переходит в окружность, касающуюся описанной окружности.

Прислать комментарий

Решение

В плоскости дан треугольник A₁A₂A₃ и прямая l вне его, образующая с продолжением сторон треугольника A₁A₂, A₂A₃, A₃A₁ соответственно углы α₃, α₁, α₂.  Через точки A₁, A₂, A₃ проводятся прямые, образующие с l соответственно углы  π – α₁,  π – α₂,  π – α₃. Доказать, что эти прямые пересекаются в одной точке. Все углы отсчитываются от прямой l в одном направлении.

Прислать комментарий

Решение

В вершинах квадрата сидят четыре кузнечика. Они прыгают в произвольном порядке, но не одновременно. Каждый кузнечик прыгает в такую точку, которая симметрична точке, в которой он находился до прыжка, относительно центра тяжести трёх других кузнечиков. Может ли в какой-то момент один кузнечик приземлиться на другого? (Кузнечики точечные.)

Прислать комментарий

Решение

Квадрат ABCD вращается вокруг своего неподвижного центра. Найдите геометрическое место середин отрезков PQ, где P — основание перпендикуляра, опущенного из точки D на неподвижную прямую l, а Q — середина стороны AB.

Прислать комментарий

Решение

На прямоугольном столе разложено несколько одинаковых квадратных листов бумаги так, что их стороны параллельны краям стола (листы могут перекрываться). Докажите, что можно воткнуть несколько булавок таким образом, что каждый лист будет прикреплен к столу ровно одной булавкой.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 113]