Каталог по темам

Задачи

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 182]

Задача 67199

Темы:	[	Равногранный тетраэдр	]
Темы:	[	Сфера, вписанная в тетраэдр	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Евдокимов М.А.

Середины всех высот некоторого тетраэдра лежат на его вписанной сфере. Верно ли, что тетраэдр правильный?

Прислать комментарий Решение

Задача 78007

Темы:	[	Равногранный тетраэдр	]
Темы:	[	Неравенства для остроугольных треугольников	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Существуют ли в пространстве четыре точки A, B, C, D такие, что AB = CD = 8 см, AC = BD = 10 см, AD = BC = 13 см?

Прислать комментарий Решение

Задача 107842

Темы:	[	Правильный тетраэдр	]
	[	Основные свойства и определения правильных многогранников	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Произволов В.В.

Можно ли разбить правильный тетраэдр с ребром 1 на правильные тетраэдры и октаэдры, длины ребер каждого из которых меньше 1/100?

Прислать комментарий Решение

Задача 76549

Темы:	[	Равногранный тетраэдр	]
	[	Проектирование помогает решить задачу	]
	[	Ортогональная проекция (прочее)	]

Сложность: 6+
Классы: 10,11

В треугольной пирамиде все 4 грани имеют одинаковую площадь. Докажите, что они равны.

Прислать комментарий Решение

Задача 110485

[Равногранный тетраэдр]

Темы:	[	Равногранный тетраэдр	]
	[	Достроение тетраэдра до параллелепипеда	]
	[	Развертка помогает решить задачу	]
	[	Проектирование помогает решить задачу	]
	[	Медиана пирамиды (тетраэдра)	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]

Сложность: 6+
Классы: 10,11

Докажите, что следующие свойства тетраэдра равносильны:

1) все грани равновелики;

2) каждое ребро равно противоположному;

3) все грани равны;

4) центры описанной и вписанной сфер совпадают;

5) суммы углов при каждой вершине равны;

6) сумма плоских углов при каждой вершине равна 180^o ;

7) развёртка тетраэдра представляет собой остроугольный треугольник, в котором проведены средние линии;

8) все грани – остроугольные треугольники с одинаковым радиусом описанной окружности;

9) ортогональная проекция тетраэдра на каждую из трёх плоскостей, параллельных двум противоположным рёбрам, – прямоугольник;

10) параллелепипед, полученный в результате проведения через противоположные рёбра трёх пар параллельных плоскостей, – прямоугольный;

11) высоты тетраэдра равны;

12) точка пересечения медиан совпадает с центром описанной сферы;

13) точка пересечения медиан совпадает с центром вписанной сферы;

14) сумма плоских углов при трёх вершинах равна 180^o ;

15) сумма плоских углов при двух вершинах равна 180^o и два противоположных ребра равны.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 182]