Каталог по темам

Задачи

Страница: << 23 24 25 26 27 28 29 >> [Всего задач: 215]

Задача 73606

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9

а) Прямоугольная таблица из m строк и n столбцов заполнена числами. Переставим числа в каждой строке в порядке возрастания. Если после этого переставить числа в каждом столбце в порядке возрастания, то в каждой строке они по-прежнему будут стоять в порядке возрастания. Докажите это.
б) Что будет, если действовать в другом порядке: в первоначальной таблице сначала переставить числа по возрастанию в столбцах, а потом – в строках: получится ли в результате та же самая таблица, что и в первом случае, или другая?

Прислать комментарий

Решение

Задача 73615

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Автор: Конягин С.В.

В таблице размерами m×n расставлены числа – в каждой клетке по числу. В каждом столбце подчеркнуто k наибольших чисел (k ≤ m), в каждой строке – l наибольших чисел (l ≤ n). Докажите, что по крайней мере kl чисел подчёркнуты дважды.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73708

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Симметрия и инволютивные преобразования	]
	[	Перебор случаев	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Автор: Лиманов Л.Г.

В квадратной таблице 4×4 расставлены числа 1, 2, 3, ..., 16 так, что сумма четырёх чисел в каждой строке, в каждом столбце и на каждой из двух диагоналей равна одному и тому же числу, причём числа 1 и 16 стоят в противоположных углах таблицы. Докажите, что в этом "магическом квадрате" сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, одна и та же.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73732

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Полуинварианты	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В прямоугольную таблицу из m строк и n столбцов записаны mn положительных чисел. Найдём в каждом столбце произведение чисел и сложим все n таких произведений. Докажите, что если переставить числа в каждой строке в порядке возрастания, то сумма аналогичных произведений будет не меньше, чем в первоначальной. Решите эту задачу для
а) m = n = 2;
б) m = 2 и произвольного n;
в) любых натуральных m и n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78718

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Задачи с ограничениями	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Правило произведения	]
	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]

Сложность: 4
Классы: 10

Одна под другой выписаны 2^n–1 различных последовательностей из нулей и единиц длины n. Известно, что для любых трёх из выписанных последовательностей найдётся такой номер p, что в p-м разряде у всех трёх стоит 1. Доказать, что в некотором разряде у всех выписанных последовательностей стоит 1 и такой разряд только один.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 23 24 25 26 27 28 29 >> [Всего задач: 215]