Каталог по темам

Задачи

Страница: << 121 122 123 124 125 126 127 >> [Всего задач: 694]

Задача 78019

Темы:	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Обратный ход	]
	[	Последовательности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Если дан ряд из 15 чисел

a₁, a₂,..., a₁₅, (1)

то можно написать второй ряд

b₁, b₂,..., b₁₅, (2)

где b_i(i = 1, 2, 3,..., 15) равно числу чисел ряда (1), меньших a_i. Существует ли ряд чисел a_i, если дан ряд чисел b_i:

1, 0, 3, 6, 9, 4, 7, 2, 5, 8, 8, 5, 10, 13, 13?

Прислать комментарий

Решение

Задача 78121

Темы:	[	Четность и нечетность	]
	[	Квадратный трехчлен (прочее)	]
	[	Периодичность и непериодичность	]
	[	Квадратные уравнения и системы уравнений	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Найти все действительные решения системы

Прислать комментарий

Решение

Задача 78576

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Периодичность и непериодичность	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

На лист клетчатой бумаги размером n×n клеток кладутся чёрные и белые кубики, причём каждый кубик занимает ровно одну клетку. Первый слой кубиков положили произвольно, а затем вспомнили, что каждый чёрный кубик должен граничить с чётным числом белых, а каждый белый — с нечётным числом чёрных. Кубики во второй слой положили так, чтобы для всех кубиков первого слоя выполнялось это условие. Если для всех кубиков второго слоя это условие уже выполняется, то больше кубиков не кладут, если же нет, то кладут третий слой так, чтобы чтобы для всех кубиков второго слоя выполнялось это условие, и так далее. Существует ли такое расположение кубиков первого слоя, что этот процесс никогда не кончится?

Прислать комментарий

Решение

Задача 97764

Темы:	[	Отношения площадей (прочее)	]
	[	Перегруппировка площадей	]
	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Анджанс А.

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Каждая его сторона разбита на k равных частей. Точки деления, принадлежащие стороне AB, соединены прямыми с точками деления, принадлежащими стороне CD, так что первая, считая от A, точка деления соединена с первой точкой деления, считая от D, вторая, считая от A, – со второй, считая от D, и т. д. (первая серия прямых), а точки деления, принадлежащие стороне BC, аналогичным образом соединены с точками деления, принадлежащими стороне DA (вторая серия прямых). Образовалось k² маленьких четырёхугольников. Из них выбрано k четырёхугольников таким образом, что каждые два выбранных четырёхугольника разделены хотя бы одной прямой первой серии и хотя бы одной прямой второй серии.
Доказать, что сумма площадей выбранных четырёхугольников равна ¹/_k S_ABCD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 97828

Темы:	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Анджанс А.

Докажите, что существует бесконечное число пар таких соседних натуральных чисел, что разложение каждого из них содержит любой простой сомножитель не менее чем во второй степени. Примеры таких пар чисел: (8, 9), (288, 289).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 121 122 123 124 125 126 127 >> [Всего задач: 694]