Страница:
<< 47 48 49 50
51 52 53 >> [Всего задач: 367]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
|
Некоторые из чисел 1, 2, 3, ..., $n$ покрашены в красный цвет так, что выполняется условие: если для красных чисел $a, b, c$ (не обязательно различных) $a(b - c)$ делится на $n$, то $b = c$.
Докажите, что красных чисел не больше чем φ($n$).
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Карточка матлото представляет собой таблицу 6×6 клеточек. Играющий отмечает 6 клеточек и отправляет карточку в конверте. После этого в газете публикуется шестёрка проигрышных клеточек. Докажите, что
а) можно заполнить девять карточек так, чтобы среди них
обязательно нашлась "выигрышная" карточка – такая, в которой не отмечена ни одна проигрышная клеточка;
б) восьми карточек для этого недостаточно.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Карточка матлото представляет собой таблицу 10×10 клеточек. Играющий
отмечает 10 клеточек и отправляет карточку в конверте. После этого в газете
публикуется десятка проигрышных клеточек. Докажите, что
а) можно заполнить 13 карточек так, чтобы среди них обязательно
нашлась "выигрышная" карточка – такая, в которой не отмечена ни одна проигрышная клеточка;
б) двенадцати карточек для этого недостаточно.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
С цепочкой камней домино, сложенной по обычным правилам, разрешается проделывать такую операцию: выбирается кусок из нескольких подряд доминошек с одинаковыми очками на концах куска, переворачивается целиком и вставляется на то же место. Докажите, что если у двух цепочек, сложенных из двух одинаковых комплектов домино, значения очков на концах совпадают, то разрешёнными операциями можно сделать порядок следования доминошек во второй цепочке таким же, как в первой.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
|
Перед экстрасенсом лежит колода из 36 карт рубашкой вверх (4 масти, по 9 карт каждой масти). Он называет масть верхней карты, после чего карту открывают и показывают ему. После этого экстрасенс называет масть следующей карты и т. д. Задача экстрасенса – угадать масть как можно большее число раз. Рубашки карт несимметричны, и экстрасенс видит, в каком из двух положений лежит верхняя карта. Помощник экстрасенса знает порядок карт в колоде, не может менять его, но может расположить рубашку каждой из карт тем или иным образом. Мог ли экстрасенс так договориться с помощником, когда тот ещё не знал порядок карт, чтобы обеспечить угадывание масти не менее чем
a) 19 карт;
б) 23 карт?
Страница:
<< 47 48 49 50
51 52 53 >> [Всего задач: 367]
Фильтр
Решение 
