Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 67]      

Известно, что в неравностороннем треугольнике ABC точка, симметричная точке пересечения медиан относительно стороны BC, принадлежит описанной окружности. Докажите, что  ∠BAC < 60°.

Прислать комментарий

Решение

Около остроугольного треугольника $ABC$ описана окружность $\omega$ с центром $O$. Точка $A’$ диаметрально противоположна $A$ на $\omega$. На меньшей дуге $BC$ окружности $\omega$ выбрана точка $D$. Точка $D’$ симметрична $D$ относительно стороны $BC$. Прямая $A’D’$ вторично пересекает $\omega$ в точке $E$. Серединный перпендикуляр к $D’E$ пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $F$ и $G$ соответственно. Докажите, что $\angle FOG=180^\circ-2\angle BAC$.

Прислать комментарий

Решение

Высоты AA₁, BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H; точки A₂, B₂ и C₂ – середины отрезков AH, BH и CH соответственно. Рассмотрим шестиугольник, образованный пересечением треугольников A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂. Докажите, что его диагонали, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

AA1 и CC1 — высоты остроугольного треугольника ABC , в котором ABC = 45^o . Точки O и H — соответственно центр описанной окружности и ортоцентр треугольника ABC . Докажите, что прямая A1C1 проходит через середину отрезка OH .

Прислать комментарий

Решение

Докажите что в равногранном тетраэдре основания высот, середины высот и точки пересечения высот граней лежат на одной сфере (сфера 12-ти точек}.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 67]