|
|
 |
Условие
Точка Q расположена на стороне MN треугольника LMN так, что NQ : QM = 1 : 2. При повороте этого треугольника на некоторый угол вокруг точки Q вершина L переходит в вершину N, а вершина M – в точку P, лежащую на продолжении стороны LM за точку L. Найдите углы треугольника LMN.
Подсказка
Используя подобие треугольников NQL, NLM и PQM, докажите, что треугольник QLM – прямоугольный.
Решение
Обозначим NQ = QL = x. Тогда QM = QP = 2x. Заметим, что ∠NQL = ∠PQM
(угол поворота), поэтому ∠QNL = ∠QPM. следовательно, треугольник NLM подобен треугольнику PQM, а значит, и треугольнику NQL. Из равенства отношений NL : LQ = MN : NL следует, что NL² = LQ·MN = 3x².
Таким образом, QL² + NL² = QM², то есть треугольник QLM – прямоугольный. При этом ∠QML = 30°, а углы треугольника LMN равны 30°, 30° и 120°.
Ответ
120°, 30°, 30°.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 3737 |
