Задача 102386

Темы:    [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC отрезок AD – биссектриса,  AD = l,  AB = c,  AC = b.  Найдите угол A.

Подсказка

Через точку D проведите прямую, параллельную AB, до пересечения со стороной AC в точке M. Тогда треугольник MDC подобен треугольнику ABC, а треугольник AMD – равнобедренный.

Решение

  По свойству биссектрисы  CD : BD = AC : AB = b : c.
  Через точку D проведём прямую, параллельную AB, до пересечения со стороной AC в точке M. Тогда треугольник MDC подобен треугольнику ABC, причём коэффициент подобия равен  ^CD/_CB = ^b/_b+c.  Значит,  DM = c·^b/_b+c = ^bc/_b+c.
  Поскольку  DM || AB,  то  ∠ADM = ∠DAB = ∠DAM,  поэтому треугольник AMD – равнобедренный:  AM = MD = ^bc/_b+c.
  Высота MH этого треугольника является его медианой, поэтому    а  ∠A = 2∠DAM.

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3806