Задача 102524

Темы:    [ Теорема синусов ] [ Теорема косинусов ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Отношение площадей треугольников с общим углом ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC  AB = 4,  BC = 5. Из вершины B проведён отрезок BM  (M ∈ AC),  причём  ∠ABM = 45°  и ∠MBC = 30°.
  а) В каком отношении точка M делит сторону AC?
  б) Вычислите длины отрезков AM и MC.

Подсказка

Пусть P и Q – проекции точек A и B на прямую BM. Прямоугольные треугольники APM и CQM подобны.

Решение

  а)  

  б) Согласно задаче 61207 а)  
  По теореме косинусов     Следовательно,

Ответ

а)       б)  

Замечания

В п. а) можно также использовать теорему синусов.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3948