ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 104115
УсловиеСумма трёх положительных углов равна 90o. Может ли сумма косинусов двух из них быть равна косинусу третьего?РешениеПусть ,, -- данные углы. Так как все они положительны, а сумма равна 90o, все они меньше 90o. Следовательно, cos = cos(90o - - ) = sin( + ) = sincos + cossin < cos + cos, а значит cos cos + cos.Другое решение. Пусть , и -- углы, удовлетворяющие условию задачи, и cos+cos=cos. Это равносильно выполнению равенства: sin(90o-)+sin(90o-)=sin(90o-).
Заметим, что углы
(90o-),
(90o-) и
(90o-) также
положительные (иначе какой-нибудь из углов , ,
должен быть не меньше 90o, что противоречит условию),
а их сумма равна 180o. Следовательно, существует
треугольник с такими углами. Умножим обе части полученного равенства на
2R, где R -- радиус окружности, описанной около треугольника.
Тогда для сторон треугольника выполняется равенство а+b=c, что невозможно.
ОтветНет.Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|