|
|
 |
Условие
Докажите, что первые цифры чисел вида 22n
образуют непериодическую последовательность.
Решение
Рассмотрим окружность длины 1 как отрезок [0;1] с отождествленными концами. Тогда дробную часть f числа k*lg2 можно рассматривать как точку этой окружности. Первая цифра числа 2k управляется положением f относительно точек деления 0, lg 2, ..., lg 9. (Например, если 2k начинается с 7, то 7*10s<2k<8*10s для натурального s. Дробная часть числа k*lg 2 равна k*lg 2 - s, и она находится между lg 7 и lg 8.)
Предположим, что первые цифры чисел 22n повторяются с периодом k. Тогда при любом n дробные части чисел 2n*lg 2 и 2n+k*lg 2 попадают в один и тот же интервал окружности; длина любого из этих интервалов не превосходит lg 2 < 1/3.
Пусть на окружности отложены дробные части двух положительных чисел A и B; эти дробные части различны и не являются диаметрально удаленными точками окружности; длина меньшей из двух дуг, на которые эти точки делят окружность, равна x. Тогда, как легко показать непосредственно, длина одной из дуг, соединяющих дробные части чисел 2A и 2B, равна 2x. Пусть теперь дробные части чисел A и B лежат в одном интервале; рассмотрим пары 2A и 2B, 4A и 4B и т. д. Из сказанного выше следует, что на некотором шаге одна из дуг, соединяющих дробные части пары, станет больше 1/3, но меньше 2/3. Значит, эти дробные части принадлежат разным интервалам окружности. Применяя эти рассуждения к числам A=2n0*lg 2 и B= 2n0+k*lg 2, где n0 - некоторое фиксированное натуральное число, получаем противоречие с предположением о периодичности.
