Задача 105195
|
|
 |
Условие
Плоскость раскрашена в два цвета, причем каждый цвет использован.а) Докажите, что найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 2006 м.
б) Докажите, что найдутся две точки разных цветов, расстояние между которыми также равно 2006 м.
Решение
а) Рассмотрим три точки в вершинах любого правильного треугольника со стороной 2006 м. По принципу Дирихле, какие-то две из них обязательно раскрашены в один цвет.б) Предположим, что мы уже нашли две точки разных цветов на расстоянии не больше 2006 м друг от друга. Тогда остается лишь построить равнобедренный треугольник, основанием которого будет отрезок с концами в данных точках, с боковыми сторонами, равными 2006 метрам. Тогда концы одной из боковых сторон окажутся окрашены в один цвет.
Покажем теперь, как найти такие две точки. По условию, на плоскости найдутся две точки разных цветов; если расстояние между ними больше 2006 м, то возьмем середину отрезка, с концами в этих точках. Эта середина вместе с одним из концов отрезка снова образует пару точек разных цветов, расстояние между которыми теперь вдвое меньше; будем повторять эту процедуру до тех пор, пока расстояние между точками не станет меньше 2006 метров.
