Задача 108163
|
|
 |
Условие
Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Точка M лежит на прямой AB, причём ∠AMO = ∠MAD.
Докажите, что точка M равноудалена от точек C и D.
Подсказка
Соедините середины сторон AB и CD.
Решение
Пусть P и Q – середины сторон соответственно AB и CD. Тогда PQ || AD, а O – середина PQ. Предположим, что точка M не лежит на отрезке AP. Тогда ∠MPO = ∠MAD = ∠AMO. Поэтому треугольник MO = PO, то есть в треугольнике PMQ медиана MO равна половине стороны PQ. Значит,
MQ ⊥ MP || CD, то есть MQ – серединный перпендикуляр к отрезку
CD. Следовательно, точка M равноудалена от точек C и D.
Аналогично разбирается случай, когда точка M лежит на отрезке AP.
