Информация о задаче

Задача 108550

Темы:	[	Метод координат на плоскости	]
	[	Скалярное произведение. Соотношения	]
	[	Окружности (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Составьте уравнение окружности, проходящей через точки A(- 2;1), B(9;3) и C(1;7).

Решение

Поскольку

$\displaystyle \overrightarrow{AC}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(1-(-2);7-1)}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(3;6)}$ , $\displaystyle \overrightarrow{BC}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(1-9);7-3)}$ = $\displaystyle \overrightarrow{(-8;4)}$ ,

то

$\displaystyle \overrightarrow{AC}$ ^. $\displaystyle \overrightarrow{BC}$ = 3^.(- 8) + 6^.4 = 0.

Поэтому AC $\perp$ BC, т.е. треугольник ABC — прямоугольный. Значит, центр его описанной окружности совпадает с серединой M(x₀;y₀) гипотенузы AB, а радиус R этой окружности равен половине отрезка AB.

Поскольку

x₀ = $\displaystyle {\frac{-2+9}{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{2}}$ , y₀ = $\displaystyle {\frac{1+3}{2}}$ = 2, и

R = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \sqrt{(9-(-2))^{2}+(3-1)^{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \sqrt{121+4}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{125}}{2}}$ ,

то искомое уравнение имеет вид

$\displaystyle \left(\vphantom{x-\frac{7}{2}}\right.$ x - $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{x-\frac{7}{2}}\right)^{2}_{}$ + (y - 2)² = $\displaystyle {\textstyle\frac{125}{4}}$ .

Ответ

(x - ${\frac{7}{2}}$ )² + (y - 2)² = ${\frac{125}{4}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4241