Информация о задаче

Задача 108551

Темы:	[	Метод координат на плоскости	]
Темы:	[	Признаки и свойства касательной	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Составьте уравнение прямой, проходящей через точку A(0;7) и касающейся окружности (x - 15)² + (y - 2)² = 25.

Решение

Пусть k — угловой коэффициент искомой касательной. Тогда уравнение касательной имеет вид y - 7 = k(x - 0), или y = kx + 7. Данная задача сводится к нахождению всех таких чисел k, для которых система уравнений

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} (x -15)^{2} + (y - 2)^{2} = 25\\ y = kx+7\\ \end{array} }\right.$ $\displaystyle \begin{array}{lll} (x -15)^{2} + (y - 2)^{2} = 25\\ y = kx+7\\ \end{array}$

имеет ровно одно решение.

Подставив y = kx + 7 в первое уравнение, после очевидных упрощений получим квадратное уравнение

(k² + 1)x² + 10x(k - 3) + 225 = 0.

Это уравнение имеет единственное решение тогда и только тогда, когда его дискриминант равен 0, т.е.

D = 10²(k - 3)² - 4^.225(k² + 1) = 100(- 8k² - 6k) = 0.

Отсюда находим, что k = 0 или k = - ${\frac{3}{4}}$ .

Следовательно, искомое уравнение имеет вид y = 7 или y = - ${\frac{3}{4}}$ x + 7.

Ответ

y = 7 или y = - ${\frac{3}{4}}$ x + 7.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4242