Информация о задаче

Задача 108557

Темы:	[	Метод координат на плоскости	]
Темы:	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Даны точки A, B и положительное число d. Найдите геометрическое место точек M, для которых AM² + BM² = d.

Подсказка

Выберите систему координат XOY так, чтобы точка A была её началом, а точка B лежала на положительной полуоси OX.

Решение

Пусть AB = b. Выберем систему координат XOY так, чтобы точка A была её началом, а точка B лежала на положительной полуоси OX. Тогда коррдинаты точек A и B — (0;0) и (b;0). Точка M(x;y) принадлежит искомому геометрическому месту тогда и только тогда, когда

AM² + BM² = d $\displaystyle \Leftrightarrow$ x² + y² + (x - b)² + y² = d $\displaystyle \Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow$ 2x² - 2bx + 2y² + b² = d $\displaystyle \Leftrightarrow$ x² - bx + y² = $\displaystyle {\frac{d-b^{2}}{2}}$ $\displaystyle \Leftrightarrow$

$\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle \left(\vphantom{x-\frac{b}{2}}\right.$ x - $\displaystyle {\frac{b}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{x-\frac{b}{2}}\right)^{2}_{}$ + y² = $\displaystyle {\frac{d-b^{2}}{2}}$ + $\displaystyle {\frac{b^{2}}{4}}$ $\displaystyle \Leftrightarrow$ $\displaystyle \left(\vphantom{x-\frac{b}{2}}\right.$ x - $\displaystyle {\frac{b}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{x-\frac{b}{2}}\right)^{2}_{}$ + y² = $\displaystyle {\frac{2d-b^{2}}{4}}$ .

Если d > ${\frac{b^{2}}{2}}$ , то искомое геометрическое место есть окружность радиуса ${\frac{1}{2}}$ $\sqrt{2d-b^{2}}$ с центром в середине отрезка AB. Если d = ${\frac{b^{2}}{2}}$ , то получится единственная точка — середина отрезка AB. Если же d < ${\frac{b^{2}}{2}}$ , — то таких точек нет.

Ответ

Если d > ${\frac{AB^{2}}{2}}$ , то искомое ГМТ — окружность с центром в середине отрезка AB.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4248