Задача 108702

Темы:    [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

  Дан треугольник ABC. Вневписанная окружность касается стороны AC в точке B₁ и продолжений сторон AB и BC в точках C₁ и A₁ соответственно. Окружность Ω с центром в точке A и радиусом AB₁ вторично пересекает прямую A₁B₁ в точке L. Докажите, что точки C₁, A, B₁ и середина отрезка LA₁ лежат на одной окружности.

Подсказка

∠A₁C₁L = 90°.

Решение

  Поскольку  AC₁ = AB₁  как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, то окружность Ω проходит через точку C₁. Обозначим
∠A = α.  Тогда из теоремы о внешнем угле треугольника следует, что  ∠AB₁C₁ = ^α/₂,  а из теоремы об угле между касательной и хордой –
∠B₁A₁C₁ = ∠AB₁C₁ = ^α/₂.
  Пусть окружность Ω пересекается с лучом AB в точке X. Из равнобедренного треугольника XAB₁ находим, что  ∠AXB₁ = 90° – ^α/₂.  Поэтому
∠A₁LC₁ = ∠B₁LC₁ = ∠B₁XC₁ = 90° – ^α/₂.
  Из треугольника A₁LC₁ находим, что  ∠A₁C₁L = 180° – ^α/₂ – (90° – ^α/₂) = 90°.
  Пусть M – середина отрезка A₁L. Предположим, что точка M лежит на отрезке B₁L. Поскольку C₁M – медиана прямоугольного треугольника A₁C₁L, проведённая из вершины прямого угла,  MA₁ = MC₁.  Поэтому  ∠B₁MC₁ = A₁MC₁ = 180° – 2∠B₁A₁C₁ = 180° – α = ∠B₁AC₁.
  Таким образом, из точек A и M, лежащих по одну сторону от прямой B₁C₁, отрезок B₁C₁ виден под одним углом. Значит, точки C₁, A, B₁ и M лежат на одной окружности.

  Аналогично разбирается случай, когда точка M лежит на отрезке A₁B₁.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6238