Задача 108936

Темы:    [ Признаки подобия ] [ Трапеции (прочее) ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC угол при вершине A – прямой, E – точка пересечения диагоналей, F – проекция точки E на сторону AB .
Докажите, что углы DFE и CFE равны.

Решение

Из подобия треугольников BEC и DEA следует, что  BC : AD = BE : ED,  а из теоремы о пропорциональных отрезках –  BF : AF = BE : ED.  Поэтому
BC : AD = BF : AF.  Значит, прямоугольные треугольники CBF и DAF подобны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,
∠CFE = ∠BCF = ∠ADF = ∠DFE.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6287