Задача 109507

Темы:    [ Выпуклые многоугольники ] [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ] [ Многоугольники (неравенства) ] [ Метод координат на плоскости ] [ Интеграл и длина ]

Сложность: 7 Классы: 10,11

Условие

Автор: Косухин О.Н.

Миша мысленно расположил внутри данного круга единичного радиуса выпуклый многоугольник, содержащий центр круга, а Коля пытается угадать его периметр. За один шаг Коля указывает Мише какую-либо прямую и узнает от него, пересекает ли она многоугольник. Имеет ли Коля возможность наверняка угадать периметр многоугольника: а) через 3 шага с точностью до 0,3; б) через 2007 шагов с точностью до 0,003?

Решение

а) Первое решение. Пусть Коля указал три прямые l₁ , l₂ и l₃ . Без ограничения общности далее считаем, что эти прямые различны и каждая из них имеет с данным кругом хотя бы одну общую точку. Покажем, что найдутся два многоугольника, удовлетворяющие условиям задачи и пересекающие каждую из этих прямых, периметры которых отличаются более чем на 0,6 .

Пусть A и B – середины двух дуг, высекаемых прямой l₁ на данной окружности ( AB – диаметр данного круга). Пусть также C и D – отличные от A и B точки пересечения данной окружности с прямыми l₂ и l₃ соответственно. Многоугольник с вершинами A , B , C и D удовлетворяет условию задачи и пересекает каждую из прямых l₁ , l₂ и l₃ . Его периметр P₁ не превосходит суммы длин отрезков AC , CB , AD и DB , а значит, и периметра вписанного в данный круг квадрата, т.е. P₁ 4<4· 1,42=5,68 . Добавляя к этому многоугольнику вершины на данной окружности, можно добиться того, что его периметр P₂ станет близок к 2π , именно, P₂>2·3,14=6,28 .

Коля не сможет "отличить" два указанных многоугольника, а значит, не сможет и наверняка угадать периметр с точностью до 0,3<(P₂-P₁)/2 .

Второе решение. Предположим, что Коле удалось придумать способ наверняка угадать за 3 хода периметр многоугольника с точностью до 0,3 . Для каждой из трех указанных Колей прямых Миша отвечает, пересекает ли эта прямая загаданный многоугольник. По предположению для каждого из 8 возможных наборов таких ответов Коля придуманным им способом определяет значение периметра с точностью до 0,3 . Следовательно, настоящее значение периметра может принадлежать одному из 8 числовых отрезков суммарной длины не более 8· 0,6= 4,8 . С другой стороны, периметр многоугольника из условия задачи может принимать любое значение из интервала (0,2π) длины 2π>4,8 . Следовательно, среди них найдется такой многоугольник, угадать периметр которого с требуемой точностью Коле не удастся. Приходим к противоречию.

б) Построим систему координат Oxy с началом координат в центре O данного круга. Пусть q – натуральное число. Для любого k=0,1,..,q-1 обозначим через Ox_k ось, повернутую против часовой стрелки вокруг точки O на угол ϕ_k:= π kq ( Ox₀ Ox ).

Для любого натурального p при каждом фиксированном k=0 , 1 , .., q-1 мы сможем найти приближенное значение d_k длины d_k ортогональной проекции [a_k,b_k] ( a_k 0 b_k ) загаданного многоугольника на ось Ox_k с точностью до 1/2^p . Для этого будем последовательно указывать прямые l_k,m ( m=1,2,..,p ), перпендикулярные оси Ox_k и пересекающие ее в точках с координатами r_m/2^m . Положим r₁=1 и r_m+1=2r_m+1 , если прямая l_k,m пересекла загаданный многоугольник, и r_m+1=2r_m-1 в противном случае. Тогда величина r_p+1/2^p+1 равна b_k с точностью до 1/2^p+1 . Аналогично, за оставшиеся p попыток определим с той же точностью величину a_k . Покажем, что величина 2 sin · _k=0^q-1 d_k при правильном выборе p и q определяет с требуемой точностью периметр P загаданного многоугольника. Пусть N – количество его сторон. Обозначим их Δ_j ( j=1,2,..,N ), через |Δ_j| обозначим их длины, а через D_j,k – длины их ортогональных проекций на ось Ox_k . Каждая точка интервала (a_k,b_k) является ортогональной проекцией ровно двух точек границы загаданного многоугольника. Значит, _j=1^N D_j,k =2d_k . Положим

где - величины углов между стороной и осью Ox_k (k=0,1,..,q-1; считаем знак величины угла положительным, если кратчайший поворот, переводящий сторону в параллельный оси Ox_k отрезок, происходит против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае), а - меньшая из этих величин. Имеем

Так как , мы получаем, что и

Отсюда и из неравенства P<2π следует, что

Значит,

Отсюда получаем

Полагая p=11 и q=90 , получаем (так как π<<3,2 ). При этом для определения величин d_k мы потратили 2p· q =1980 < 2007 попыток.
Комментарий. Предложенный в решении способ приближенного нахождения периметра выпуклого многоугольника с помощью длин его ортогональных проекций на различные прямые приводит нас к важной формуле современного анализа. Формула Фавара

позволяет находить точные значения периметра P произвольной выпуклой фигуры с помощью интеграла от длины l(ϕ) ее ортогональной проекции на прямую, образующую угол ϕ с осью Ox . Например, эта формула позволяет нам установить интересный факт, что всякая выпуклая фигура, длина ортогональной проекции которой на любую прямую равна d (такие фигуры называются фигурами постоянной ширины), имеет тот же периметр, что и круг такого диаметра.
[1] Фавар (Favard J.). Definition de la longueur et de l'aire. – C. R. Acad. Sci. Paris. 1932. V.194. P.344-346.
[2] Гарднер М. Математические досуги, гл. 23. Кривые постоянной ширины. – М.: "Мир", 2000.

Ответ

а) нет; б) да.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	70
Год	2007
вариант
Класс	11
задача
Номер	7