Задача 109906
|
|
 |
Условие
Имеется 4 монеты, из которых 3 – настоящие, которые весят одинаково, и одна фальшивая, отличающаяся по весу от остальных. Чашечные весы без гирь таковы, что если положить на их чашки равные грузы, то любая из чашек может перевесить, если же грузы различны по массе, то обязательно перетягивает чашка с более тяжелым грузом. Как за три взвешивания наверняка определить фальшивую монету и установить, легче она или тяжелее остальных?Решение
Заметим, что если монеты разложены по чашкам поровну, то та чашка, где лежит фальшивая монета, всегда либо перевешивает (если фальшивая монета тяжелее настоящих), либо нет (если легче). Поэтому если одна и та же монета при двух взвешиваниях однажды оказалась внизу, а однажды вверху, то она – настоящая.Разложим монеты на чашки весов по две. Монеты с перевесившей чашки обозначим 1 и 2, а с другой – 3 и 4. Вторым взвешиванием сравним 1 и 3 с 2 и 4.
Если перевесит чашка с 1 и 3, то монеты 3 и 2 – заведомо настоящие, если другая – то заведомо настоящими являются монеты 1 и 4. Последним взвешиванием мы сравниваем две заведомо настоящие монеты с двумя другими. Пусть настоящими являются монеты 2 и 3. Тогда если чашка с ними перевесит, то фальшивая монета легче и, значит, это монета 4; если же наоборот, то фальшивая монета тяжелее и это монета 1.
Случай, когда настоящими оказываются после второго взвешивания монеты 2 и 4, разбирается аналогично.
