Задача 110082

Темы:    [ Деление с остатком ] [ Десятичная система счисления ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Четность и нечетность ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Замков В.

Натуральное число n назовём хорошим, если каждое из чисел n,   n + 1,  n + 2  и  n + 3  делится на сумму своих цифр. (Например,  n = 60398  – хорошее.)
Обязательно ли предпоследней цифрой хорошего числа, оканчивающегося восьмеркой, будет девятка?

Решение

Допустим, что нашлось хорошее число  n = a₁...a_k8,  где  a₁, ..., a_k – цифры, причём  a_k ≠ 9.  Тогда  n + 1 = a₁...a_k9,  n + 3 = a₁...a_k–1b_k1,  где  b_k = a_k + 1.  Числа  n + 1  и  n + 3  нечётны, а суммы их цифр равны  a₁ + a₂ + ... + a_k + 9  и  a₁ + a₂ + ... + a_k + 2  соответственно. Эти суммы отличаются на 7, и потому одна из них чётна. Но чётное число не может быть делителем нечётного. Противоречие.

Ответ

Обязательно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2001
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	8
задача
Номер	01.4.8.6